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Recursión - Figuras Recursivas

main1.jpg main2.jpg main3.png

Una técnica muy utilizada en programación es la recursión. Con esta técnica se resuelven problemas resolviendo un problema similar pero para casos más pequeños. Podemos construir conjuntos de objetos o procesos utilizando reglas recursivas y valores iniciales. Las funciones recursivas son funciones que se auto-invocan, utilizando cada vez conjuntos o elementos más pequeños, hasta llegar a un punto en donde se utiliza el valor inicial en lugar de auto-invocarse. Los fractales son un ejemplo de figuras que se pueden crear usando recursión. En esta experiencia de laboratorio practicarás la definición e implementación de funciones recursivas para dibujar formas auto-similares (fractales).

Los ejercicios de esta experiencia de laboratorio son una adaptación de https://sites.google.com/a/wellesley.edu/wellesley-cs118-spring13/lectures-labs/lab-6-turtle-recursion.

Objetivos:

  1. Practicar el definir e implementar funciones recursivas.

Pre-Lab:

Antes de llegar al laboratorio debes haber:

  1. Repasado los conceptos relacionados a funciones recursivas.

  2. Estudiado la función box para dibujar cajas, incluida en el archivo boxes.cpp del proyecto de Qt.

  3. Haber estudiado los conceptos e instrucciones para la sesión de laboratorio.

  4. Haber tomado el quiz Pre-Lab que se encuentra en Moodle.

Figuras auto-similares

figure2.png

Figura 2. Árbol fractal [5].

Una manera ingeniosa de practicar y “visualizar” recursión es programando funciones que produzcan figuras auto-similares (o recursivas). Por ejemplo, considera una figura recursiva que llamaremos rama. La Figura 3 muestra rama(0,90), rama(1,90) y rama(2,90).

figure3.jpg

Figura 3. (a) rama(0,90), (b) rama(1,90), y © rama(2,90).

¿Puedes ver el comportamiento recursivo de esta figura? Nota que rama(0,90) es solo un segmento vertical (un segmento en un ángulo de 90 grados); rama(1,90) es rama(0,90) con dos segmentos inclinados en su extremo superior. Más preciso, rama(1,90) es rama(0,90) con una rama(0,60) y una rama(0,120) en el extremo superior. Similarmente, rama(2,90) es rama(0,90) con dos rama(1,90) inclinadas en el extremo superior. Esto es, rama(2,90) es: rama(0,90) con una rama(1,60) y una rama(1,120) en el extremo superior. Nota que $$60=90-30$$ y que $$120=90+30$$.

De esta manera podemos expresar rama(n,A) como una composición de ramas con $$n$$’s más pequeñas inclinadas. El Código 1 provee una manera de expresar rama como una función recursiva.

rama(0, A) = dibuja un segmento de largo L en un ángulo A
rama(n, A) = dibuja: rama(0,A), rama(n-1, A-30), rama(n-1, A+30)

Código 1. Función para dibujar las ramas.

Nota que la definición recursiva incluye un caso base, esto es, incluye rama(0,A), y una relación de recurrencia (o caso recursivo), esto es, rama(n,A). Para simplificar, asumimos que rama(n-1,A-30) y rama(n-1,A+30) se dibujan en el extremo superior de rama(0,A).

La Figura 4 ilustra la expansión recursiva para rama(2,90). El color de cada expresión es el color del segmento que le corresponde en la figura.

figure4.jpg

Figura 4. Ilustración de rama(2,90).

¿Puedes predecir cómo será la próxima iteración de la figura? Es decir, ¿qué figura producirá rama(3,A)?

Sesión de laboratorio

En la experiencia de laboratorio de hoy implementarás funciones recursivas para producir fractales.

Ejercicio 1: Copo de nieve

Una de las figuras fractales más simples es la figura de un copo de nieve. Esta figura se forma a partir de un triángulo isósceles, sustituyendo el segmento del tercio del medio de cada lado por una “V” invertida. La medida de los lados de la “V” es igual a la medida del segmento que sustituye. Usaremos el copo de nieve para ilustrar el proceso de recursión.

figure5.png

Figura 5. Parte de la construcción del fractal “copo de nieve”.

Instrucciones

  1. Carga a QtCreator el proyecto RecursiveShapes haciendo doble “click” en el archivo RecursiveShapes.pro en el directorio Documents/eip/Recursion-RecursiveShapes de tu computadora. También puedes ir a http://bitbucket.org/eip-uprrp/recursion-recursiveshapes para descargar la carpeta Recursion-RecursiveShapes a tu computadora.

  2. Compila y corre el programa para que veas una figura del copo de nieve construida con 3 iteraciones de la función snowflake. Puedes ver el código que define esta función en el archivo snowflake.cpp del proyecto de Qt.

    En la función main, busca la línea en donde se declara y dá valor a la variable level. Cambia el valor de level a 0 y corre el programa de nuevo. Podrás ver el triángulo que representa el caso base de la recursión para el copo de nieve. Continúa cambiando el valor de la variable level y corriendo el programa para que veas el proceso de la recursión y de producir figuras auto-similares.

Ejercicio 2: Cajas autosimilares

Tu tarea en este ejercicio es programar una función recursiva boxes, en el archivo boxes.cpp, que produzca las siguientes figuras.

figure6.jpg

Figura 6. Ilustración de las figuras de cajas que debe producir tu programa.

La función recursiva boxes incluye tres parámetros: sideLength, shrinkFactor, y smallestLength.

  • sideLength: un entero que determina el largo de los lados del cuadrado más grande.
  • shrinkFactor: un número real que determina la razón del siguiente nivel de cuadrados. Por ejemplo, si sideLength es 100, y shrinkFactor es 0.3, el largo de los lados del cuadrado más grande será 100 unidades, y el largo de los lados del próximo cuadrado más pequeño será 100*.3=30 unidades. Se colocan 4 copias de ese cuadrado más pequeño dentro del cuadrado anterior, un cuadrado en cada esquina.
  • smallestLength: es un valor entero que determina el largo del lado del cuadrado más pequeño que será dibujado. Por ejemplo, en la Figura 6, boxes(400, 0.4, 200) solo dibuja el cuadrado con lados de largo 400, ya que el tamaño que le seguiría sería 400 * 0.4 = 160, que es más pequeño que 200. Por otro lado, boxes(400, 0.4, 75) dibuja el cuadrado de tamaño 400 y los cuadrados de tamaño 160, pero no los siguientes en tamaño, porque serían de tamaño 160 * 0.4 = 64, que es menor que 75.

Instrucciones

  1. Estudia la función box incluida en el archivo boxes.cpp. Esta función recibe como argumentos las coordenadas de la esquina superior izquierda, el largo de los lados y el color de una caja. La función dibuja una caja con esas especificaciones.

  2. Escribe un algoritmo recursivo para la función boxes descrita arriba. ¡Recuerda incluir el caso base! El algoritmo también debe invocar la función box para dibujar las cajas.

  3. Implementa la función en QtCreator. Necesitarás proveer parámetros adicionales a tu función para que puedas controlar la posición y el color de los cuadrados.

  4. Invoca la función boxes desde la función main en el archivo main.cpp. Compara tus resultados con las imágenes de la Figura 6.

Entrega

Utiliza “Entrega” en Moodle para entregar los archivos boxes.cpp y main.cpp. Recuerda utilizar buenas prácticas de programación, incluir el nombre de los programadores y documentar tu programa.

Referencias

[1] https://sites.google.com/a/wellesley.edu/wellesley-cs118-spring13/lectures-labs/lab-6-turtle-recursion.

[2] “Mandel zoom 00 mandelbrot set”. Licensed under Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 via Wikimedia Commons - http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Mandel_zoom_00_mandelbrot_set.jpg#mediaviewer/File:Mandel_zoom_00_mandelbrot_set.jpg

[3] “Mandel zoom 04 seehorse tail”. Licensed under Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 via Wikimedia Commons - http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Mandel_zoom_04_seehorse_tail.jpg#mediaviewer/File:Mandel_zoom_04_seehorse_tail.jpg

[4] http://www.coolmath.com/fractals/images/fractal5.gif

[5] “Fractal tree (Plate b - 2)”. Licensed under Public domain via Wikimedia Commons - http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Fractaltree(Plateb-_2).jpg#mediaviewer/File:Fractaltree(Plateb-_2).jpg

English | Español

Recursion - Recursive Shapes

main1.jpg main2.jpg main3.png

One commonly used programming technique is recursion. With this technique, problems are solved by solving similar problems but for smaller cases. We can construct sets of objects or tasks using recursive rules and initial values. Recursive functions are functions that are self-invoking, using smaller sets or elements each time, until reaching a point where an initial value is used instead of self-invoking. Fractals are an example of figures that can be created using recursion. In this laboratory experience you will practice the definition and implementation of recursive functions to draw self-similar objects (fractals).

The exercises in this laboratory experience are an adaptation of https://sites.google.com/a/wellesley.edu/wellesley-cs118-spring13/lectures-labs/lab-6-turtle-recursion.

Objectives:

  1. Practice the definition and implementation of recursive functions.

Pre-Lab:

Before coming to the laboratory session you should have:

  1. Reviewed the basic concepts related to recursive functions.

  2. Studied the box function to draw boxes, included in the boxes.cpp file in the Qt project.

  3. Studied the concepts and instructions related to the laboratory session.

  4. Taken the Pre-Lab quiz available through the course’s Moodle portal.

Self-similar forms

figure2.png

Figure 2. Fractal tree [5].

One ingenious way of practicing and visualize recursion is programming functions that produce recursive figures, or fractals. For example, consider a recursive figure that we’ll call branch. Figure 3 shows branch(0,90), branch(1,90), and branch(2,90).

figure3.jpg

Figure 3. (a) branch(0,90), (b) branch(1,90), y © branch(2,90).

Can you see the recursive behavior in this figure? Notice that branch(0,90) is only a vertical segment (a segment in an angle of 90 degrees); branch(1,90) is branch(0,90) with two segments inclined in its top. More precisely, branch(1,90) is branch(0,90) with a branch(0,60) and a branch(0,120) in its top. Similarly, branch(2,90) is branch(0,90) with two branch(1,90) inclined in the top. That is, branch(2,90) is: branch(0,90) with a branch(1,60) and a branch(1,120) in its top. Notice that $$60=90-30$$ and $$120=90+30$$.

This way we can express branch(n,A) as a composition of branches with smaller inclined $$n$$’s. Code 1 provides a way of expressing branch as a recursive function.

branch(0, A) = draws a segment of length L and angle A
branch(n, A) = draws: branch(0,A), branch(n-1,A-30), branch(n-1,A+30)

Code 1. Function to draw branches.

Notice that the recursive definition includes a base case, that is, includes branch(0,A), and a recurrence relation, that is, branch(n,A). To simplify, we assume that branch(n-1,A-30) and branch(n-1,A+30) are drawn at the top of branch(0,A).

Figure 4 illustrates the recursive expansion for branch(2,90). The color of each expression is the corresponding segment color in the figure.

figure4.jpg

Figure 4. Illustration for branch(2,90).

Can you predict how the next iteration for the figure will look? That is, what figure will branch(3,A) produce?

Laboratory Session

In today’s laboratory experience you will implement recursive functions to produce fractals.

Exercise 1: Snowflake

One of the simplest fractal figures is the snowflake. This figure is formed by an isosceles triangle, substituting the middle third segment on each side by an inverted “V”. The measurements of each side of the “V” is equal to the measurements of the segment it substitutes. We will use the snowflake to illustrate the process of recursion.

figure5.png

Figure 5. Part of the construction of the snowflake fractal.

Instructions

  1. Load the project RecursiveShapes onto QtCreator by double clicking on the RecursiveShapes.pro file in the Documents/eip/Recursion-RecursiveShapes folder of your computer. You may also go to http://bitbucket.org/eip-uprrp/recursion-recursiveshapes to download the Recursion-RecursiveShapes folder to your computer.

  2. Compile and run the program so you see a snowflake figure constructed with 3 iterations of the snowflake function. You can see the code of this function in the snowflake.cpp file of the Qt project.

In the main function, look up the line where the variable level is declared and given a value. Change the value of level to 0 and run the program. You’ll be able to see the triangle that represents the recursive base case for the snowflake. Continue changing the value for level and running the program so you can see the recursion process and produce self-similar figures.

Exercise 2: Self-similar boxes

In this exercise, your task is to program a recursive function boxes, in the file boxes.cpp, that produces the following figures.

figure6.jpg

Figure 6. Illustration of the box figures that your program should produce.

The boxes recursive function includes three parameters: sideLength, shrinkFactor, and smallestLength.

  • sideLength: an integer that determines the length of the sides of the largest box.
  • shrinkFactor: a real number that determines the rate of the next level of boxes. For example, if sideLength is 100, and shrinkFactor is 0.3, the length of the sides of the largest box will be 100 units, and the length of the sides of the smallest box will be 100*.3=30 units. Four copies of that smaller box are placed within the previous box, one box in each corner.
  • smallestLength: is an integer that determines the length of the sides of the smallest box that will be drawn. For example, in Figure 6, boxes(400,0.4,200) only draws the box with sides of length 400, since the size that will follow will be 400 * 0.4 = 160, which is smaller than 200. On the other hand, boxes(400, 0.4, 75) draws the box of size 400 and the boxes with size 160, but not the following ones in size, since they would be of size 160 * 0.4 = 64, which is less than 75.

Instructions

  1. Study the box function included in the boxes.cpp file. This function receives as arguments the coordinates of the upper left corner, the length of the sides and the color of the box. The function draws a box with these specifications.

  2. Write a recursive algorithm for the boxes function described above. Remember to include the base case! The algorithm should also invoke the box function to draw the boxes.

  3. Implement the function in QtCreator. You will need to provide additional parameters to your function so you can control the position and the color of the squares.

  4. Invoke the boxes function from the main function in the main.cpp file. Compare your results with the images in Figure 6.

Deliverables

  1. Use “Deliverables” in Moodle to upload the boxes.cpp and main.cpp files. Remember to use good programming techniques, include the names of the programmers involved, and to document your program.

References

[1] https://sites.google.com/a/wellesley.edu/wellesley-cs118-spring13/lectures-labs/lab-6-turtle-recursion.

[2] “Mandel zoom 00 mandelbrot set”. Licensed under Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 via Wikimedia Commons - http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Mandel_zoom_00_mandelbrot_set.jpg#mediaviewer/File:Mandel_zoom_00_mandelbrot_set.jpg

[3] “Mandel zoom 04 seehorse tail”. Licensed under Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 via Wikimedia Commons - http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Mandel_zoom_04_seehorse_tail.jpg#mediaviewer/File:Mandel_zoom_04_seehorse_tail.jpg

[4] http://www.coolmath.com/fractals/images/fractal5.gif

[5] “Fractal tree (Plate b - 2)”. Licensed under Public domain via Wikimedia Commons - http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Fractaltree(Plateb-_2).jpg#mediaviewer/File:Fractaltree(Plateb-_2).jpg